18.11 Алгебра. Задачи, решающиеся аналитически

Выделим полный квадрат:

Рассмотрим два случая.

1.

При оба полученных уравнения являются линейными:

Следовательно, нам подходит.

2.

При оба полученных уравнения квадратные, причем при все их коэффициенты совпадают, а при только свободные коэффициенты отличаются.

2.1.

Если , то получаем два одинаковых квадратных уравнения, то есть по сути одно:

Значит, нам подходит.

2.2.

Если , то получаем два квадратных уравнения, у которых один коэффициент из трех совпадает. Следовательно, эти уравнения не могут иметь общих корней, значит, чтобы суммарно было два корня, нужно: оба уравнения имеют по одному корню; одно уравнение имеет два корня, а второе не имеет корней.

(i)

Оба уравнения имеют по одному корню, следовательно, их дискриминанты равны нулю одновременно:

(ii)

Одно уравнение имеет два корня, а другое не имеет корней:

Удовлетворяет условию .

Итого ответ .