18.11 Алгебра. Задачи, решающиеся аналитически
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра 
, при каждом из которых корни уравнений
перемежаются (т.е. каждое из уравнений имеет два корня и между ними лежит корень другого уравнения).
Пусть 
– различные корни уравнения (1); 
– различные корни уравнения (2). Заметим, что полностью корни этих
уравнений совпадать не могут, так как в таком случае в левых частях бы стояли одинаковые многочлены, то есть 
и
.
Если множества решений этих уравнений различны, то упорядоченные по возрастанию/убыванию корни должны образовывать
следующую последовательность: 
.
Если уравнения имеют общий корень, то упорядоченные по возрастанию/убыванию они должны образовывать следующую
последовательность: 
. То есть либо больший корень уравнения (1) совпадает с большим корнем уравнения (2), либо меньший
с меньшим.
Рассмотрим случай, когда 
. Тогда система из этих уравнений должна иметь решение.
Тогда другой корень уравнения (1) 
, другой корень уравнения (2) 
. Таким образом, 
. Все
хорошо.
Пусть 
, то есть имеем последовательность 
то есть нет общих корней. Рассмотрим функции 
и
. Если корень одного уравнения лежит между корнями другого, то значение одной функции в корне другой будет
отрицательным (то есть 
и 
) и параболы будут пересекаться, причем их точка пересечения будет находиться между
и 
, то есть значение функций в этой точке будет отрицательным. Заметим, что это условие также будет гарантировать
положительность дискриминантов, так как у каждой функции найдена точка, значение в которой отрицательно, а ветви парабол
направлены вверх.
Абсциссу общей точки мы нашли выше – это 
. Необходимо:
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
