18.11 Алгебра. Задачи, решающиеся аналитически

Оба неравенства могут быть как квадратичными, так и линейными. Заметим, что у линейного неравенство множество решений может быыть представлено либо в виде луча, либо в виде всей числовой прямой, либо в виде пустого множества. Пересечение любых двух множеств такого типа не даст одну точку. Следовательно, неравенства должны быть квадратичными, то есть .

У квадратичного неравенства решение может быть:

1) объединение двух лучей,

2) вся числовая прямая,

3) пустое множество,

4) отрезок,

5) точка.

Нам подходят комбинации: 1 и 4, 1 и 5, 2 и 5, 4 и 5.

1.

Рассмотрим комбинацию 1 и 4. Тогда квадратичные трехчлены должны иметь общий корень. Рассмотрим систему из двух уравнений:

Заметим, что не является решением системы, следовательно, выразим из обоих равенств:

При имеем ; при имеем .

Найдем дискриминанты обоих квадратичных трехчленов:

1.1.

Пусть , тогда , и квадратичные трехчлены имеют общий корень . Тогда второй корень первого трехчлена находим через произведение (теорема Виета): . Второй корень второго трехчлена равен . Следовательно, решение первого неравенства , а второго . Видим, что в пересечении не получаем одну точку, значит, это значение параметра нам не подходит.

1.2.

Пусть , тогда , и квадратичные трехчлены имеют общий корень . Аналогично находим, что , . Тогда решение первого неравенства , решение второго неравенства . Видим, что в пересечении получаем одну точку . Это значение параметра нам подходит.

2.

Рассмотрим комбинации 1 и 5, 2 и 5, 4 и 5. Тогда у одного из трехчленов дискриминант должен быть равен нулю, следовательно, нужно рассмотреть значения .

2.1.

Пусть , тогда , . Решением первого неравенства будет абсцисса вершины параболы : точка .

Решением второго неравенства является объединение двух лучей. Так как , то принадлежит какому-то из этих лучей, следовательно, удовлетворяет второму неравенству, то есть общим решением неравенств является одна точка. Значит, это значение параметра нам подходит.

2.2.

Пусть , тогда , . Решением второго неравенства будет абсцисса вершины параболы : точка .

Решением первого неравенства является объединение двух лучей. Так как , то не принадлежит никакому лучу, следовательно, не удовлетворяет первому неравенству. Значит, это значение параметра нам не подходит.

В итоге ответ