18.11 Алгебра. Задачи, решающиеся аналитически

Способ 1.

Уравнение вида равносильно системе

Следовательно, преобразуем таким образом наше уравнение:

Определим, в каких случаях уравнения (1) и (2) могут иметь общие решения. Пусть — общий корень этих уравнений. Пусть Тогда при подстановке в эти уравнения получаем откуда следует, что

Так как уравнения (1) и (2) квадратные, то совокупность из них может иметь не более четырех решений. При этом четыре решения она имеет тогда и только тогда, когда уравнения (1) и (2) не имеют общих корней и каждое из уравнений (1) и (2) имеет по два корня, удовлетворяющих всем условиям.

Пусть — общий корень уравнений (1) и (2). Тогда в нашем случае откуда Следовательно, не должен являться корнем уравнений (1) и (2). Учтем это условие, заменив на

Уравнения (1.1) и (2.1) имеют по два корня, если правые части положительны:

Решения уравнения (1.1) — это

Решения уравнения (2.1) — это

Они должны удовлетворять условию Следовательно, система имеет четыре различных решения при условии выполнения если меньший из корней каждого уравнения больше

Из последней системы имеем:

Пересечем решения этого неравенства с решениями системы и окончательно получим

Способ 2.

Исходное уравнение равносильно системе

Заметим, каждое из уравнений может иметь не более двух решений, а значит, нам необходимо потребовать от каждого из уравнений совокупности наличие двух различных решений. При этом важно, чтобы решения первого уравнения не совпадали с решениями второго.

Рассмотрим (1):

Таким образом, первое уравнение имеет два различных корня при

Рассмотрим (2):

Таким образом, второе уравнение имеет два различных корня при

Получаем, что оба дискриминанта положительны при

Заметим, что данные уравнения имеют общий корень лишь в случае таким образом, достаточно рассматривать условие

Пусть и

Запишем условия для

Запишем условия для

Осталось лишь пересечь полученное с условием, когда оба дискриминанта положительны, и получим