18.10 Алгебра. Задачи, решающиеся аналитически

Рассмотрим второе уравнение системы:

Заметим, что при данное уравнение принимает вид: , то есть не имеет решений. Следовательно, для всей системы не является решением. Тогда второе уравнение можно переписать в виде

и подставить это значение для в первое уравнение. Тогда первое уравнение примет вид:

Для того, чтобы вся система имела ровно одно решение, необходимо, чтобы полученное уравнение относительно имело ровно одно решение, причем не равное .

 

1) Рассмотрим случай, когда уравнение обращается в линейное, то есть когда .

 

Тогда уравнение принимает вид , откуда , следовательно, . Таким образом, данное значение параметра нам подходит.

 

2) При всех таких, что , уравнение является квадратным. Рассмотрим его дискриминант:

Рассмотрим случай, когда , то есть . Решая это квадратное уравнение, получаем , (заметим, что эти значения параметра подходят под условие ). При этих значениях параметра уравнение имеет одно решение: при это ; при это .
Оба значения не равны , то есть подходят в первое уравнение. Значит, эти значения параметра нам подходят.

 

3) При всех значениях параметра, при которых и . То есть .

 

Т.к. , то уравнение всегда имеет два различных корня.
Таким образом, если один из корней будет равен (который нам не подходит), то вся система снова будет иметь единственное решение. Найдем значения , при которых уравнение имеет корень . Это значит, что при подстановке числа в данное уравнение оно должно обращаться в верное равенство, то есть

Это значение параметра подходит под условие .

 

Можно сделать проверку: при уравнение принимает вид и действительно имеет корни , .
нам не подходит, а при получаем .

 

Таким образом, ответ: .