18.10 Алгебра. Задачи, решающиеся аналитически

Сделаем замену переменных: . Тогда . А также для удобства заменим на . Значит, необходимо найти те положительные , при которых новая система

 

имеет положительные решения.

 

Сделаем еще одну замену: :

Второе уравнение системы имеет дискриминант при всех . Значит, второе уравнение всегда имеет 2 корня. Заметим, что по теореме Виета произведение этих корней равно , значит, они разных знаков. Таким образом, всегда существует единственный :

Значит, . Необходимо, чтобы и был положительным. Таким образом:

Т.к. , то и , а второе неравенство выполнено всегда (об этом говорилось выше). Значит, данная система равносильна неравенству

Перейдем к : .

 

При этих значениях оба числа и положительны. Можно найти само решение системы: