18.21 Графика. Нахождение касательной к графику

Преобразуем исходное уравнение:

Правая часть задает пучок прямых через точку Графиком функции является парабола часть которой, лежащая ниже оси отражена в верхнюю полуплоскость. Построим графики.

На картинке отмечены три ключевых положения прямых.

• В положении прямая пучка будет иметь единственное пересечение с графиком в точке Это положение нам подходит. Подставим точку в уравнение прямой пучка, чтобы найти соответствующее значение

  
• В положении имеем вертикальную прямую, которая не входит в пучок.

• Любая прямая между положениями и будет иметь ровно две точки пересечения с графиком Первая — пересечение с отраженным кусочком параболы, вторая — с левой веткой параболы. Эта точка пересечения будет существовать, так как квадратичная функция растет быстрее, чем линейная. Эти случаи нам не подходят.

  

• В положении прямая пучка касается правой ветки параболы, то есть имеет с ней единственную точку пересечения. Найдем эту точку касания и значение которое соответствует касательной.

  Обозначим через координату по оси абсцисс искомой точки касания. Тогда должны выполняться два условия. Во-первых, точка должна принадлежать прямой Во-вторых, производная функции задающей на промежутке правую ветку параболы, должна быть равна в точке так как это и есть наклон нашей касательной. Запишем эти условия с учетом и

  

  Условию удовлетворяет только следовательно,

  

• Между положениями и прямая пучка будет иметь два пересечения с правой веткой параболы, поскольку квадратичная функция растет быстрее, чем линейная, значит, такие положения нас не интересуют.
• Во всех оставшихся положениях точек пересечения не будет вовсе.

Резюмируя, получаем, что уравнение будет иметь единственное решение при