18.21 Графика. Нахождение касательной к графику

Для того, чтобы наибольшее значение функции было не меньше , нужно, чтобы у неравенства

было хотя бы одно решение. Рассмотрим неравенство в виде

Графиком является уголок, вершина которого движется по оси абсцисс. Графиком является парабола, вершина которой находится в точке . Требуется, чтобы существовала хотя бы одна точка уголка, находящаяся либо на параболе, либо выше.

Граничные случаи показаны на рисунке. Причем заметим, что в силу симметрии параболы относительно оси и симметрии уголка относительно прямой эти случаи также симметричны относительно оси , то есть если положение 1 (левый уголок) достигается при , то положение 2 (правый уголок) достигается при .

Положение 1 выполняется, когда правая ветвь уголка касается параболы. Запишем условие касания прямой и параболы, которое задается системой из двух равенств: равенства производных и равенства функций в точке касания.

В силу описанной выше симметрии положение 2 достигается при

Тогда нам подходят все положения уголка левее положения 1 и правее положения 2, что задается значениями параметра

.