18.21 Графика. Нахождение касательной к графику

Перепишем уравнение в виде

и рассмотрим функцию и . Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а пересекает ось абсцисс она в точках и . Графиком при каждом фиксированном и является уголок, вершина которого находится на прямой .
Точка, в которой парабола пересекает , имеет координаты .
Заметим, что если вершина уголка находится выше этой точки (то есть ), то с не будут иметь 3 точки пересечения.

 

1) Рассмотрим случай, когда . Тогда .
 

 
Заметим, что если ветви уголка направлены вниз (то есть ), а также при , не будет пересекать в трех точках.
Рассмотрим случай . Тогда мы имеем еще две точки пересечения с : точки и .
Так как точка находится левее (абсцисса вершины параболы), то . Следовательно, и . Значит, не может быть , следовательно, только , откуда . Следовательно, , то есть

Таким образом, получили первое решение

 

2) Рассмотрим случай, когда , то есть .
Заметим также, что если , то не будет иметь 3 точки пересечения с . Следовательно, рассматриваем только случай, когда ветви уголка направлены вверх.
будет иметь 3 точки пересечения с в одном из двух случаев:
— когда левая ветка уголка касается параболы, а правая пересекает в двух точках (см. второй рисунок);
— когда левая ветка уголка пересекает параболу в двух точках, а правая касается.

 

a) Рассмотрим первый случай.
 

 
Левая ветка уголка задается уравнением , . Следовательно, условие касания:

Правая ветка (, ) должна пересекать параболу в точке, абсцисса которой равна (неизвестно, это точка или ). Это задается условием: Решаем систему из трех уравнений Проверим эти значения (нам нужно проверить, что правая ветка уголка будет именно в двух точках пересекать параболу).
и .
Таким образом, получен еще один ответ , .

 

b) Рассмотрим второй случай.
 

 
Аналогично получаем систему:

Что невозможно, исходя из рисунка ().