18.21 Графика. Нахождение касательной к графику

Преобразуем первое равенство. Так как равносильно при , то

Графиком полученной системы является объединение частей гиперболы и прямой , лежащие в области под гиперболой

Преобразуем второе равенство. Будем рассматривать его как квадратное относительно переменной :

Его дискриминант равен

Следовательно, решения

Графиком полученной совокупности является объединение двух прямых, одна фиксирована — это , а представляет собой пучок прямых, проходящих через точку

Изобразим все графики на одной координатной плоскости и определим положения, которые может занимать прямая , чтобы имелось более трех точек пересечения. Голубым цветом обозначена область, задающаяся неравенством , зеленым цветом обозначены графики функций и , а розовым — прямые и .

Заметим, что точка пересечения и лежит на гиперболе .

Также заметим, что две точки пересечения и имеются всегда: их дает прямая . Значит, нужно, чтобы прямая давала как минимум две точки пересечения.

• Рассмотрим и будем вращать прямую (назовем ее ) от до . Прямая соответствует и в этом положении дает одну точку (не подходит). При увеличении прямая дает две точки пересечения (одну в правой полуплоскости, вторую – в левой, обе с ), и так происходит до тех пор, пока не окажется в положении прямой (пройдет через точку ). Вращая далее, прямая будет также давать две точки пересечения, но в левой полуплоскости эта точка будет уже на прямой . И так вплоть до положения прямой , когда эта точка пересечения совпадет с точкой (не подходит). вращая далее вплоть до прямая будет продолжать давать две точки пересечения, что нам подходит.

  Следовательно, , . Как мы уже сказали, , найдем .

  Точка — точка пересечения прямых и , следовательно, . Подставим координаты этой точки в уравнение :

  

  Значит. . Таким образом,

• Рассмотрим . Будем вращать прямую в обратном направлении от до . Вплоть до положения прямой (проходит через точку ) прямая дает две точки пересечения, положение нам не подходит. Вращая далее, мы получаем две точки пересечения (все так же в правой полуплоскости), пока не окажется в положении (коснется гиперболы в правой полплоскости). Это положение и все последующие нам уже не подходят. Следовательно, .

  точка — точка пересечения прямой и гиперболы :

  

  Подставим координаты точки в уравнение :

  

  Теперь найдем : когда прямая касается в точке :

  

  Значит,