18.25 Графика. Отрезок, ромб, квадрат и другие нестандартные графики

Красивое решение

Построим на координатной плоскости множество решений уравнения — квадратик с вершинами в точках , , и .

График функции это парабола с вершиной в точке с координатами . Заметим, что и квадратик, и парабола симметричны относительно оси ординат, следовательно, множество точек их пересечения также симметрично относительно оси ординат. Нам нужно найти такое значение параметра , при котором это множество содержит ровно три точки. Три — нечётное число, значит, хотя бы одна из точек пересечения должна лежать на оси ординат (ведь если бы не лежало ни одной, то из соображений симметрии точек было бы четное число).

Квадратик пересекает ось ординат только в двух точках — и . Парабола может проходить через них только тогда, когда одна из точек или является её вершиной. Значит, достаточно рассмотреть только эти два случая.

• Если — вершина параболы, то Но тогда . Значит, точка — единственная точка пересечения параболы и квадратика.
• Если — вершина параболы, то . Тогда . Значит, ветви этой параболы проходят через точки и . Больше точек пересечения нет, поэтому парабола нам подходит.

Мы выяснили, что другие параболы будут пересекать квадратик в чётном числе точек, поэтому ответ — .

 

 

Стандартное решение

Построим на координатной плоскости множество решений уравнения — квадратик с вершинами в точках , , и .

Будем анализировать, как выглядит график функции в зависимости от значения . Это парабола с вершиной в точке с координатами . Заметим, что при график функции проходит через точки , и . Тогда при этот график не пересекает квадратик ни в одной точке.

Если мы начнем уменьшать то график начнёт двигаться вверх, пересекая каждый из отрезков и в двух точках, а каждый из отрезков и в одной. То есть у нас будет 6 точек пересечения графика с квадратиком. Так будет до тех пор, пока график не достигнет положения касания с отрезками и . В этот момент он будет пересекать каждый из отрезков и в одной точке. То есть у нас будет 4 точки пересечения графика с квадратиком. После этого момента, до момента, когда станет равно , график будет пересекать отрезки и ровно по одному разу. В момент график будет проходить только через точку квадратика. При график и квадратик пересекаться не будут. Значит, единственное подходящее .