18.25 Графика. Отрезок, ромб, квадрат и другие нестандартные графики

Второе уравнение системы задает окружность с центром в точке и радиусом 1.

Напомним, что расстояние между точками и на плоскости задается выражением

Рассмотрим первое уравнение системы. Первое слагаемое левой части равно расстоянию между точками и . Второе слагаемое левой части равно расстоянию между точками и . Выражение в правой части уравнения равно расстоянию между точками и .

Получили, что первое уравнение системы равносильно тому, что длина отрезка (правая часть) равна сумме длин отрезков и (левая часть). По неравенству треугольника такое возможно только при условии, что точка лежит на отрезке . Точка зафиксирована, а точка может лежать в любом месте прямой в зависимости от значения параметра . Теперь можем нарисовать картинку.

Отметим ключевое для нас положение точки на прямой . В этом положении отрезок касается окружности, т.е. имеет с ней единственную точку пересечения. Если будет лежать выше, чем , то отрезок не будет иметь общих точек с окружностью. Если же будет лежать ниже, чем , то отрезок будет иметь ровно две точки пересечения с окружностью. Нас интересует последний случай. Осталось найти координаты точки .

Обозначим точку через , точку касания с окружностью через , точку через .

как отрезки касательных к окружности из точки , и как отрезки касательных к окружности из точки . Тогда . Выразим длину отрезка через координаты его концов, получим уравнение

Так как отрезок имеет два пересечения с окружностью при всех положениях ниже, чем , нам подойдут