18.18 Функции. Исследование функции на возрастание/убывание

Рассмотрим три случая: , и .

1) . Тогда уравнение примет вид . Решим его графически. Рассмотрим функцию . Нули функции: . Производная равна , следовательно, точки экстремума , причем – точка максимума, – точка минимума. Следовательно, график выглядит так:
Причем . Следовательно, решение уравнения – это абсциссы точек пересечения графиков функций и . Таким образом, очевидно, что таких точек две.
Следовательно, нам подходит.

2) . Тогда уравнение примет вид . Это уравнение имеет два решения и . Следовательно, нам также подходит.

3) Пусть . Рассмотрим функцию . Тогда уравнение примет вид .
Эта функция состоит из суммы двух функций: и . Функция определена при всех кроме , , причем на любом отрезке принимает значения от до (вообще говоря, она еще периодическая).
Функция кубическая, определена при любом , причем на каждом отрезке вида она ограничена (то есть ее область значений на этом отрезке – от до ).
Обе функции и также непрерывны на любом отрезке . Следовательно, функция также непрерывна на любом таком отрезке, а также принимает значения от до . Значит, на любом таком отрезке существует хотя бы одна точка, удовлетворяющая уравнению . В частности, это верно и для . Следовательно, на любом отрезке вида существует хотя бы одно решение уравнения .
Так как таких отрезков бесконечное множество, то и решений у уравнения бесконечно. Следовательно, любые нам не подходят.

Таким образом, ответ .