18.18 Функции. Исследование функции на возрастание/убывание

Применим формулу косинуса двойного угла и умножим обе части уравнения на , наложив дополнительное условие :

Сделаем замену с условиями . Рассмотрим функцию

Проверим монотонность функции на отрезке . Нас интересует поведение функции и наличие корней только на этом отрезке. Имеем

Тогда функция монотонно возрастает на отрезке .

Посмотрим, какие условия должны выполняться, чтобы уравнение имело хотя бы один корень (на самом деле из монотонности следует, что не более одного) на отрезке . Временно забудем про ограничение , в конце выкинем лишние значения.

Во-первых, значение функции в левом конце отрезка должно быть не больше нуля, то есть . Действительно, ведь в противном случае на всем отрезке график функции будет лежать выше оси абсцисс, а значит, на этом отрезке не будет корней.

Во-вторых, значение функции в правом конце отрезка должно быть не меньше нуля, то есть , иначе график функции окажется ниже оси абсцисс на рассматриваемом отрезке.

При выполнении двух перечисленных условий мы гарантированно будем иметь ровно один корень на отрезке . Получаем систему

Осталось найти и выколоть значение , при котором является решением уравнения . Тогда это . Итого, получаем

При всех найденных будет существовать решение для , а значит и для .