18.11 Функции. Монотонность: f(x) ∨ const и f(f(x)) = x

Перепишем уравнение в виде:

и рассмотрим функцию . Найдем ее производную:

 

Т.к. при всех значениях .

Следовательно, – строго возрастающая функция. Значит, уравнение может иметь не более одного решения при всех значениях . Для того, чтобы являлось решением уравнения, нужно, чтобы .

 

Т.к. функция – строго возрастает, то если пробегает отрезок , то множеством значений функции является отрезок .

 

Таким образом, так как , то , следовательно, .