Тема 18. Задачи с параметром

18.11 Функции. Монотонность: f(x) ∨ const и f(f(x)) = x

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31555

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

∘-2------- 2 log1a( x + ax+ 5+1)⋅log5(x +ax+ 6)+loga3≥ 0

имеет ровно одно решение.

Показать ответ и решение

Сделаем замены $y = x2+ ax+5$ , $t= √y$ и исследуем их. Функция $y$ является квадратичной, ее область значений $y ∈[y;+∞ ) 0$ , где $y 0$ — ордината вершины параболы. Абсцисса вершины равна $a x0 = −2$ , следовательно, $a2 y0 = 5− 4$ . Так как в $√- y = y$ переменная $y$ находится под корнем, то $y ≥ 0$ . Следовательно, если $y0 >0$ , то $y ∈[y0;+∞ )$ и $√ -- t∈ [ y0;+∞ )$ . Если же $y0 ≤ 0$ , то $y ∈ [0;+∞ )$ и $t∈ [0;+∞ )$ . Заметим, что каждому $y < y0$ не соответствует ни одного решения $x$ , для $y = y0$ получаем одно решение $x$ , для $y >y0$ получаем два решения $x$ .

Преобразуем исходное неравенство с учетом замены при $a >0,a⁄= 1$ :

loga3− loga(t+ 1)⋅log5(t2 +1)≥ 0

Так как точно $t≥ 0$ , то $t+1≥ 1$ , $2 t +1 ≥1$ , следовательно,

при $a> 1$ функции $f = loga(t+1)$ и $2 g = log5(t + 1)$ неотрицательны и возрастающие, следовательно, их произведение — возрастающая функция.
Тогда
$2 F(t)= loga3− loga(t+ 1)⋅log5(t +1) — убывающая.$
тогда неравенство $F ≥ 0$ имеет решение $t∈[0;t0]$ , где $t0$ — корень уравнения $F = 0.$
Учитывая возможную область значений для $t$ (либо $[y0;+∞ )$ , либо $[0;+∞ )$ ), этот случай имеет смысл рассматривать.
при $0 <a <1$ функция $f = loga(t+1)$ неположительна и убывающая, а $g =log5(t2 +1)$ неотрицательна и возрастающая, следовательно, их произведение — убывающая функция.
Тогда
$2 F(t)= loga3− loga(t+ 1)⋅log5(t + 1) — возрастающая.$
Тогда неравенство $F ≥ 0$ имеет решение $t≥ t0$ , где $t0$ — корень уравнения $F = 0.$
Учитывая возможную область значений для $t$ (либо $[y0;+∞ )$ , либо $[0;+∞)$ ), этот случай не имеет смысла рассматривать, так как мы в любом случае получим бесконечно много решений $t$ неравенства, следовательно, при обратной замене получим бесконечно много решений $y$ , а затем и $x.$

Заметим, что подбором находится корень уравнения $F = 0$ — это $t=2$ , причем этот корень единственный, так как в любом случае $F$ — строго монотонная функция, следовательно, это уравнение имеет не более одного корня.

Рассмотрим случай $a> 1$ подробнее. Тогда решение неравенства $F ≥ 0$ — это $0≤ t≤ 2$ . Если $y0 <0$ , то $t≥ 0$ , следовательно, итоговое решение будет $t∈ [0;2]$ , причем каждому $t$ будет соответствовать по два $x$ , следовательно решений будет более одного. Если $y0 = 0$ , то также $t∈ [0;2]$ , причем $t= 0$ будет соответствовать один $x =x0$ , остальным $t$ — по два $x$ . Тоже более одного решения.

Если $y0 >0$ , то получаем $√-- t∈[ y0;2]$ , причем $√-- t= y0$ будет соответствовать один $x$ , а остальным — по два. Следовательно, чтобы решение было единственным, отрезок для $t$ должен быть вырожденным, то есть $√-- y0 = 2$ . Тогда

2 5− a-= 2 ⇔ a= ±2 4

Учитывая, что $a> 1$ , остается ответ: $a= 2.$

P.S.

Пусть $F = f ⋅g$ , $f ≥ 0$ , $g ≥ 0$ , $f ↑$ , $g ↑$ . Тогда $F′ =f′g+ fg′$ . Так как $f,g,f′,g′ ≥0$ , то $F ′≥ 0$ , следовательно, $F ↑$ .

Пусть $F = f ⋅g$ , $f ≤ 0$ , $g ≥ 0$ , $f ↓$ , $g ↑$ . Тогда $F ′ =f′g+ fg′$ . Так как $f,f′ ≤ 0$ , $g,g′ ≥ 0$ , то $F ′ ≤0$ , следовательно, $F ↓$ .

Ответ:

$a ∈{2}$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

18.11 Функции. Монотонность: f(x) ∨ const и f(f(x)) = x

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ