18.11 Функции. Монотонность: f(x) ∨ const и f(f(x)) = x

Для возрастающей функции выполнено: если , то и если , то . Рассмотрим этим равенства:

Чтобы доказать равносильность этих равенств, достаточно доказать

1) если – корень (1), то – корень (2);

2) если — не корень (1), то он также не является корнем (2).

Из (1) равенства вытекает, что . Но так как по (1) верно , то получаем , чтд.

Пусть — не корень уравнения (1), то есть . Рассмотрим два случая.

• . Тогда в в силу возрастания функции получаем, что , то есть , следовательно, — не корень и равенства (2).
• . Тогда в в силу возрастания функции получаем, что , то есть , следовательно, — не корень и равенства (2).