Тема 18. Задачи с параметром

18.07 Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1294

Найдите все положительные значения параметра $a$ , при каждом из которых оба корня уравнения

2 2 (1 − a)x − 2ax + 1 = 0

не меньше $− 3$ .

Показать ответ и решение

По условию уравнение должно иметь два корня, значит, оно квадратное и имеем условия на старший коэффициент и дискриминант:

2 2 1− a ⁄= 0, D = 4(2a − 1) > 0

Графиком функции

f(x) = (1 − a2)x2 − 2ax + 1

при каждом фиксированном $a$ является парабола.

Рассмотрим два случая в зависимости от направления ветвей параболы.

(1) Ветви направлены вверх:

1 − a2 > 0 ⇒ − 1 < a < 1

$PIC$
(2) Ветви направлены вниз:

2 1− a < 0 ⇒ a < − 1 или a > 1

$PIC$

Таким образом, для положительных по условию значений $a$ имеем совокупность двух случаев:

( ⌊|| D > 0 ⌊ (|a ∈ (− ∞; − √1) ∪( 1√-;+∞ ) |||||{ || |||{ 2 2 || 0 < a < 1 || 0 < a[ < 1 √-- √ --] ||||| f(− 3) ≥ 0 || |||a ∈ 13(1− 11); 13(1+ 11) ||||( xверш = ---2a--- > − 3 || |(a ∈ (− ∞; − 1) ∪(1(1− √37-);1) ∪(1(1+ √37-);+ ∞ ) || 2(1− a2) ⇒ || ( ( ) 6( ) 6 ⇒ ||( || ||a ∈ − ∞; − √1 ∪ 1√-;+∞ |||||{ D > 0 || ||{ 2 2 || a > 1 || a > 1( √ --] [ √ -- ) ⌈||| f(− 3) ≤ 0 ⌈ ||||a ∈ − ∞; 13(1− ( 11) ∪√ 13(1+) 1(1);+ ∞√ -- ) ( xверш > − 3 (a ∈ (− ∞; − 1)∪ 16(1− 37);1 ∪ 16(1+ 37);+ ∞

( 1 ) [1+ √11- ) ⇒ a ∈ √--;1 ∪ -------;+∞ 2 3

Заметим, что условие $xверш > − 3$ важно. Без этого условия возможен еще один случай, который нам не подходит. Например:

$PIC$

Ответ:

$( ) [ √ -- ) a ∈ √1-;1 ∪ 1+---11-;+ ∞ 2 3$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse