18.07 Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

ОДЗ неравенства: .
Заметим, что при всех из ОДЗ аргументы обоих логарифмов положительны.
Пусть . Так как , то , следовательно, . Тогда исходное неравенство относительно будет иметь решения при всех из ОДЗ, если полученное неравенство

относительно будет иметь решения при всех . Полученное неравенство можно переписать в виде

1) Пусть . Тогда неравенство равносильно

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, следовательно, решением неравенства может быть либо интервал (если ), либо пустое множество (если ). Следовательно, нужно, чтобы решением неравенства был интервал, который содержал в себе отрезок . Нам подходит такая картинка:

То есть числа и должны находиться строго между корнями уравнения . Это задается следующими условиями: Найденные подходят под условие .

 

2) Пусть . Тогда неравенство равносильно

В этом случае решением неравенства может быть либо объединение двух лучей (), либо все (). Заметим, что абсцисса вершины параболы . Следовательно, для того, чтобы неравенство выполнялось при всех , нам подходят следующие положения параболы :
Первые два положения задаются условием , в этом случае отрезок содержится в решении неравенства .
Третье положение задается условием , и чтобы отрезок содержался в решении, нужно, чтобы число находилось правее правого корня, следовательно, (левее левого корня располагаться не может, так как абсцисса вершины параболы равна ). Следовательно:

Так как этот случай был возможен при , то, пересекая эти значения с , получим .

 

Объединяя найденные в обоих пунктах, получим окончательный ответ