18.07 Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Преобразуем данную систему:

Данная система при равносильна системе:

Заметим, что решения первой и второй системы из данной совокупности всегда будут различны, т.к. при всех и .

 

I. При уравнения (1) и (2) – линейные, имеющие корни и соответственно. Но т.к. , то система не будет иметь два решения.
Следовательно, данное значение нам не подходит.

 

При уравнения (1) и (2) являются квадратными. Найдем их дискриминанты:

II. Рассмотрим .
 
Тогда и . Следовательно, оба уравнения имеют по два различных корня.
 
Корни уравнения (1):

Корни уравнения (2): Т.к. , то корень точно не подходит.
 
Рассмотрим три случая:
. Тогда . Следовательно, тоже не подходит.
Тогда для того, чтобы исходная система имела два различных решения, нужно, чтобы .
Рассмотрим параболу . При рассматриваемых ее ветви направлены вверх, следовательно, т.к. , то можно сказать, что корни и находятся либо одновременно правее (подходит), либо одновременно левее (не подходит).
Для того, чтобы оба были правее , нужно, чтобы и вершина параболы была правее , то есть Пересекая полученные значения с , получим .

 

. Тогда . Следовательно, нам подходит.
Тогда для того, чтобы исходная система имела два решения, нужно, чтобы , а .
Парабола и в данном случае с ветвями, направленными вверх, следовательно, учитывая , можно сказать, что оба корня и находятся либо одновременно левее, либо одновременно правее . Такая ситуация нам не подходит.

 

. Тогда . Следовательно, нам подходит.
Тогда нужно, чтобы , а .
Парабола в данном случае с ветвями вниз, то есть, учитывая , корни находятся по разные стороны от . Значит, этот случай нам подходит.

 

Следовательно, при система имеет два решения.

 

III. При имеем: и . Следовательно, уравнение (1) не имеет корней, а уравнение (2) имеет те же два корня и , из которых не подходит под . Следовательно, мы не получим два решения системы.

 

IV. При имеем и . Следовательно, уравнение (1) имеет один корень , уравнение (2) имеет корни и . Таким образом, учитывая , система будет иметь два решения:

V. При имеем и , следовательно, оба уравнения имеют по одному корню: и . Видим, что двух решений система не имеет.

 

Таким образом, ответ: .