18.07 Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Нужно доказать, что при любом . Заметим, что если мы будем выписывать дискриминант этого трехчлена, то получим

– многочлен четвертой степени, который вряд ли удастся разложить на множители.

Будем рассуждать по-другому: если существует хотя бы одна точка , значение функции в которой всегда отрицательное (то есть при любом ) для параболы с ветвями вверх (какая у нас и есть), то это как раз и будет значить, что парабола пересекает ось в двух точках, то есть уравнение имеет два различных корня.

Эта точка легко подбирается – это :

Следовательно, уравнение имеет два корня, причем можно заметить, что они расположены по разные стороны от числа .