18.04 Алгебра. Исследование при всех значениях параметра

Рассмотрим два случая:

1) . Тогда уравнение примет вид:

Данное уравнение не имеет решений ни при каких значениях .

2) . Тогда данное уравнение равносильно системе:

Дискриминант первого уравнения . Таким образом, при всех , значит, уравнение всегда имеет два корня (может быть, совпадающих):

Рассмотрим случаи (не забывая учесть, что ):

2.1) . Тогда система равносильна:

Таким образом, исходное уравнение при имеет один корень .

2.2) . В этом случае система равносильна:

Данная система будет иметь один корень, если какой-то из или совпадет с , и два корня, если ни один из них не совпадет с .

2.2.1) Какой-то из или совпал с .

Решая уравнение , получим . Следовательно, при уравнение имеет один корень .

Решая уравнение , получим . Но в нашем случае , следовательно, .

2.2.2) Ни один из или не совпал с . Значит, при и система будет иметь два корня: .