18.04 Алгебра. Исследование при всех значениях параметра

Нужно определить, при каких данное уравнение не имеет решений, имеет одно решение, два решения и т.д., и какие.

Данное уравнение квадратного типа при всех таких, что (ведь по определению уравнение квадратное, если ). Следовательно, нам нужно рассмотреть два случая, в каждом из которых мы определенным образом будем решать уравнение.

1) Пусть , то есть . Тогда уравнение принимает вид . Решением данного уравнения будет . Следовательно, при уравнение имеет единственное решение .

2) Пусть , то есть . Тогда уравнение квадратное. Квадратное уравнение может иметь 0, 1 или 2 корня в зависимости от дискриминанта (меньше 0, равен 0 или больше 0 соответственно).

Найдем дискриминант: .

2.1) Итак, если , то уравнение не имеет решений:

Решением данного неравенства будут . При этих значениях уравнение не имеет решений.

2.2) Если , то есть , то уравнение имеет единственный корень. Для квадратного уравнения с корень можно искать по формуле абсциссы вершины:

При получаем

При получаем

2.3) Если , то есть , то уравнение имеет два решения:

Учитывая, что , то получаем .

Важно не забыть, что случай 2.2 рассматривается при , то есть в подслучаях 2.1, 2.2, 2.3 мы должны исключить это значение параметра, если оно входит в какой-то промежуток.