.03 Динамика

Пусть – масса тела. Силы, действующие на тело на полюсе и на экваторе, изображены на рисунке, где и – силы тяжести, и – силы реакции опор, на которых покоится тело. Поскольку планета представляет собой однородный шар, силы и различаются только направлением, а модули их совпадают: . Для тела, покоящегося на полюсе, сила тяжести и сила реакции опоры уравновешены, и его вес по второму закону Ньютона равен . Тело, находящееся на экваторе, движется по окружности, радиус которой равен радиусу планеты . Следовательно, сила тяжести и сила реакции опоры не уравновешены, и по второму закону Ньютона для тела на экваторе:

Здесь – ускорение тела.
Ускорение равно центростремительному и равно:

где – угловая скорость вращения планеты.
Тогда второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную в центр планеты, выглядит следующим образом

Поэтому вес тела на экваторе по величине равен

По условию

откуда

Ускорение свободного падения можно выразить из силы гравитации:

где – масса планеты. Отсюда следует, что

Учитывая, что период вращения планеты

Получаем ответ