.04 Законы сохранения в механике

Сделаем рисунок сил

Где и – сила реакции опоры в нижней и верхней точке, и – центростремительное ускорение в нижней и верхней точке, – сила тяжести.
1. Найдем скорость тела в нижней точке движения по закону сохранения энергии

Запишем второй закон Ньютона:

Спроецируем второй закон Ньютона на вертикальную ось:

Сила давления на петлю равна по модулю и обратна по направлению силе реакции опоры, следовательно, сила давления внизу равна Скорость тела в верхней точке также можно найти из закона сохранения энергии

Тогда второй закон Ньютона запишется в следующей виде

2. Для того, чтобы тело прошло петлю, необходимо, чтобы сила реакции опоры во время прохождения ни разу не была равна 0, минимальная сила реакции опоры наблюдается в верхней точке движения. Докажем это
Пусть угол между силой тяжести и силой реакции опоры равен , тогда второй закон в проекции на ось, направленную в центр окружности:

Тогда из закона сохранения энергии

Тогда второй закон Ньютона запишется в виде

Тогда, для того, чтобы было минимально, должен быть максимален, значит , что возможно только в верхней точке.
Из закона сохранения энергии скорость в верхней точке

Примем в верхней точке силу реакции опоры равно 0, тогда