.04 Законы сохранения в механике

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Тело движется поступательно, его размеры малы по сравнению с размерами установки, будем описывать тело моделью материальной точки.

3. Так как тело является материальной точкой, то для описания его движения будем использовать второй закон Ньютона относительно ИСО.

4. Применим закон сохранения энергии для описания движения тел, так как единственной не потенциальной силой является сила натяжения нити, действующая на тело. Эта сила перпендикулярна вектору скорости в процессе движения, а значит ее мощность и работа равняются нулю, полная механическая энергия тела не изменяется. За нулевой уровень потенциальной энергии выберем уровень, на котором находится нижняя точка траектории тела.

5. Так как тело будет двигаться по окружности, то оно будет обладать центростремительнм ускорением, направленным к центру окружности вращения.

6. Когда тело закреплено на стержне, то в нем возникает сила реакции опоры, эта сила является непотенциальной силой. Эта сила перпендикулярна вектору скорости в процессе движения, а значит ее мощность и работа равняются нулю, полная механическая энергия тела не изменяется. За нулевой уровень потенциальной энергии выберем уровень, на котором находится нижняя точка траектории тела.

Решение

Кинетическая энергия тела рассчитывается по формуле , потенциальная энергия находится по формуле , где - высота, на которой находится тело, - скорость, которой обладает тело.

Пусть длина нити скорость маятника в верхней точке равна . Тогда из закона сохранения энергии

Запишем второй закон Ньютона для верхней точки:

где – сила натяжения нити, – центростремительное ускорение. Условие минимальности скорости означает, что сила натяжения нити в верхней точке равна 0. Иногда предполагают именно нулевую скорость, что является ошибочным, если скорость в верхней точке будет равна 0, то тело в наивысшей точке вращения просто начнет падать вертикально вниз. Спроецируем второй закон Ньютона на вертикальную ось в верхней точке

Тогда минимальная начальная скорость

В отличии от нити, скорость стержня может быть приблизительно равна 0 в верхней точке траектории (в условиях задачи можно использовать 0), тогда из закона сохранения энергии, минимальная начальная скорость равна

Откуда

Дополнение к задаче
Чтобы доказать, что минимальная сила натяжения будет в верхней точке запишем второй закон Ньютона для положения, изображенного на рисунке

в проекции на ось и

распишем центростремительное ускорение

Тогда

минимальное значение выражение принимает при , то есть в верхней точке траектории.

Критерий 1

1 балл ставится если

1. Введена инерциальная система отсчета

2. Обоснована возможность применения к телу модели материальной точки

3. Обосновано применение второго закона Ньютона для описания движения тела

4. Обосновано применение закона сохранения энергии

5. Обосновано наличие центростремительного ускорения

6. Введен нулевой уровень потенциальной энергии

__________________________________________________________________________________________________________________________________

В остальных случаях ставится 0 баллов по данному критерию.

При отсутствии обоснования по данному критерию ставится 0 баллов

Критерий 2

3 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: второй закон Ньютона в векторной форме и в проекции на радиальное направление для момента прохождения телом нижней точки траектории, закон сохранения механической энергии, формулы потенциальной и кинетической энергии, формула центростремительного ускорения).

II) Описаны все вводимые буквенные обозначения величин, кроме тех, которые приведены в условии задачи или представлены в виде констант в КИМ, стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов.

III) Представлены математические образования, приводящие к верному ответу (в данном случае последовательное выражение величин с пояснением действий).

IV) Получен верный ответ.

2 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Верно записаны все положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования, но имеются один или несколько из следующих недостатков:

I) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачёркнуты.

II) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. (Получение конечной формулы сразу, без последовательного, логического вывода. Пропуск преобразований в формулах.)

III) Отсутствуют описания вновь вводимых в решение буквенных обозначений физических величин.

IV) Ответ получен неверный или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательно указываются единицы измерений.)

1 балл ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.

Записаны только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо и достаточно для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.

В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решении задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.