.04 Законы сохранения в механике

Запишем второй закон Ньютона в момент, когда шарик оторвется от поверхности сферы, это означает, что сила реакции опоры будет равна нулю, и ускорение будет создаваться только силой тяжести. Запишем второй закон Ньютона

где – сила реакции опоры, – центростремительное ускорение Так как , то с учетом формулы центростремительного ускорения где – скорость тела.
Тогда второй закон Ньютона на ось

С учетом того, что имеем

Также запишем закон сохранения энергии

где – потенциальная энергия тела на высоте , – кинетическая энергия на высоте , – потенциальная энергия на высоте , отсчитывается от центра сферы. Расписав все слагаемые по формулам получим

Объединим (1) и (2):

При этом расстояние равно:

Мы нашли точку отрыва тела от поверхности сферы.

Скорость направлена перпендикулярно центростремительному ускорению, следовательно

Скорость тела в момент отрыва

Тогда горизонтальная и вертикальная составляющие скорости

Горизонтальная составляющая скорости не изменяется во время полета, значит справедливо равенство:

где – скорость в нижней точке полёта, – искомый угол.
Запишем закон сохранения полной энергии при всем движении

Отсюда

Так как горизонтальная составляющая часть скорость сохраняется при движении тела, то закон сохранения энергии запишется в виде:

где – искомая высота.
Тогда