.04 Законы сохранения в механике

Обоснование

1. Систему отсчёта, связанную с Землёй, будем считать инерциальной. Тела можно считать материальными точками, так как их размеры пренебрежимо малы в условиях задачи.

2. При соударении для системы «пуля - тело» в ИСО выполняется закон сохранения импульса в проекциях на горизонтальную ось, так как внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры) вертикальны.

3. При движении составного тела от вершины полусферы выполняется закон сохранения механической энергии, так как полусфера гладкая, и работа силы реакции опоры равна нулю (эта сила перпендикулярна скорости тела).

4. В момент отрыва обращается в нуль сила реакции опоры .

5. Второй закон Ньютона выполняется в ИСО для модели материальной точки.

Решение

Запишем второй закон Ньютона в момент, когда шарик оторвется от поверхности сферы, это означает, что сила реакции опоры будет равна нулю, и ускорение будет создаваться только силой тяжести. Запишем второй закон Ньютона

где – сила реакции опоры, – центростремительное ускорение Так как , то с учетом формулы центростремительного ускорения где – скорость составного тела, – радиус полусферы.
Тогда второй закон Ньютона на ось

С учетом того, что имеем

Запишем закон сохранения импульса в момент, когда пуля касается бруска

где – импульс пули, – импульс составного тела после столкновения, – скорость после столкновения.
Закон сохранения импульса на горизонтальную ось

Отсюда скорость после столкновения

Также запишем закон сохранения энергии

где – кинетическая энергия после столкновения(на высоте ), – потенциальная энергия тела на высоте , – кинетическая энергия на высоте , – потенциальная энергия на высоте . Расписав все слагаемые по формулам получим

Подставим (1), (2) в (3)

Отсюда искомая величина