19.21 Задачи на построение конструкций/примеров по заданным условиям

а) Да, может равняться 9, если взять числа 0, 1, 2, 3, 4. Тогда

б) Пусть 2 является суммой членов арифметической прогрессии с начальным членом и шагом Тогда

Заметим, что — целое число, значит, тоже целое. Тогда — делитель 4, то есть По предположению Противоречие.

в) Предствим любое натуральное число в виде суммы хотя бы пяти последовательных членов арифметической прогрессии. Рассмотрим последовательность …, При в такой последовательности не меньше шести членов, значит, она подходит под условие. Найдем ее сумму:

Если мы заменим числа на противоположные по знаку, то получим отрицательное число, значит, можем принимать все целые значения, которые больше 2 по модулю, то есть

По предыдущему пункту мы не можем получить число 2, значит, аналогично можем доказать, что число мы тоже не сможем получить.

Пусть 1 является суммой членов арифметической прогрессии с начальным членом и шагом Тогда

Заметим, что — целое число, значит, тоже целое. Тогда — делитель 2, то есть По предположению Противоречие. Аналогично докажем, что и число мы тоже не сможем получить.

Число 0 можно получить последовательностью Значит,