Тема 19. Задачи на теорию чисел

19.06 НОК, НОД и взаимная простота чисел

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на теорию чисел

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#741

Коля получает пятёрку через каждые $6$ дней, Вася получает пятёрку через каждые $9$ дней, а Андрей получает пятёрку через каждые $15$ дней. Те дни, когда они втроём получают по пятёрке, они называют днями икс. Через сколько дней наступит следующий день икс, если известно, что сегодня тоже день икс?

Показать ответ и решение

Количество дней до следующего дня икс равно $НО К (6;9;15) = Н ОК (2 ⋅ 3; 3 ⋅ 3; 3 ⋅ 5 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 90$ .

Ответ: 90

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#742

Известно, что $a,b ∈ ℕ$ взаимно просты и дробь $3a + 5b -------- 5a + 3b$ сократима на число $d ∈ ℕ$ , $d ⁄= 1$ . Найдите наибольшее возможное $d$ .

Показать ответ и решение

Так как требуется найти наибольшее возможное $d$ , то

d = НО Д (3a + 5b;5a + 3b).

Число $5(3a + 5b) − 3 (5a + 3b ) = 16b$ делится на $d$ . Число $5(5a + 3b) − 3 (3a + 5b) = 16a$ делится на $d$ . Так как $a$ и $b$ взаимно просты, то $16$ делится на $d$ .

Проверим, может ли быть $d = 16$ . Число $3a + 5b − (5a + 3b) = 2(b − a )$ делится на $d$ . Если $d = 16$ , то $(b − a)$ делится на $8$ .

Возьмём, например, $b = 9$ , $a = 1$ , тогда

3a-+-5b- 48- 16-⋅ 3 5a + 3b = 32 = 16 ⋅ 2 ,

то есть $d = 16$ – подходит.

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#743

Известно, что $a,b∈ ℕ,$ при этом $ab= 2016.$ Какое наибольшее значение может принимать $НО Д(a;b)?$

Показать ответ и решение

Пусть $d= НО Д(a;b),$ тогда оба числа $a$ и $b$ делятся на $d,$ следовательно, $ab$ делится на $d2.$

Разложим число 2016 на простые множители:

5 2 2016 =2 ⋅3 ⋅7

Рассмотрим наибольший полный квадрат, на который может делиться 2016:

4 2 2 2 ⋅3 =12 ⇒ d ≤12

Проверим, может ли быть так, что $d= 12.$ Пусть $d= 12,$ тогда для некоторых натуральных $m$ и $n$ имеем:

a= 12m, b= 12n 144mn =2016 ⇒ mn = 14

Положим $m = 2,$ $n = 7,$ тогда получим

a= 24, b= 84, ab =2016 НО Д(a;b)= НО Д(24;84)= 12

Таким образом, наибольшее возможное значение $Н ОД(a;b)$ равно 12.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1694

Найдите НОД $(34,1717 )$ .

Показать ответ и решение

НОД $(34, 1717) =$ НОД $(2 ⋅ 17, 101 ⋅ 17) = 17,$ так как НОД $(2,101) = 1$ .

Ответ:

$17$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1695

Докажите, что дробь $18n + 1 --------, 45n + 1$ где $n ∈ ℤ,$ несократима.

Показать ответ и решение

Пусть НОД $(18n + 1,45n + 1) = a$ , тогда по определению наибольшего общего делителя $. (18n + 1)..a$ и $.. (45n + 1 ).a$ , но тогда $.. (5 (18n + 1) − 2(45n + 1)).a$ .