19.16 Арифметическая и геометрическая прогрессии

Рассмотрим две последовательности:

В самом деле, общий член первой последовательности имеет вид а общий член второй последовательности имеет вид

Остаётся понять, сколько решений есть у уравнения в натуральных числах.

Таким образом, тогда и только тогда, когда то есть выписанное уравнение имеет ровно 1000 решений в натуральных числах, что и требовалось.