19.16 Арифметическая и геометрическая прогрессии

а) Пусть первый член данной прогрессии — а последний — . Тогда — количество членов данной прогрессии ( — нечётное число).

Найд̈eм величину по формуле го члена арифметической прогрессии:

В таком случае сумма наибольшего и наименьшего члена прогрессии (то есть сумма крайних членов прогрессии) равна:

Это число является четным, так как слагаемое чётно из-за множителя 2, а число чётно, так как число ӵeтно.
Сумма двух ӵeтных чисел не может быть равна нечётному числу 987654321, следовательно, ответ отрицательный.

б) Найд̈eм сумму наибольшего и наименьшего члена данной прогрессии:

Запишем формулу суммы арифметической прогрессии:

в) Докажем, что среднее арифметическое всех членов конечной арифметической прогрессии и среднее арифметическое двух крайних членов конечной арифметической прогрессии равны.

Пусть первый член данной прогрессии — , а последний — . Тогда — количество членов данной прогрессии.

Среднее арифметическое нескольких чисел равно отношению суммы данных чисел к их количеству.
Среднее арифметическое нескольких чисел:

Среднее арифметическое крайних членов

Равенство очевидно.

Таким образом, Преобразуем это равенство:

В левой части мы имеем три неизвестных: Все три переменные входят в это равенство со знаком «+», следовательно, при увеличении значения любой переменной, значения двух других переменных уменьшаются, так как в правой части фиксированное число.

Таким образом, чтобы было максимальным, и должны быть минимально возможными натуральными числами. Разность не может быть равной 0 или отрицательной, так как по условию прогрессия возрастающая.

Возьмем Тогда

Пример такой прогрессии для