19.17 Произвольные последовательности чисел

Заметим, что каждый член последовательности, начиная с третьего, однозначно определяется ровно двумя предыдущими членами последовательности, следовательно, если в данной последовательности дважды встречается фрагмент , то есть она имеет вид , то она периодическая.

Остаётся показать, что некоторый фрагмент такого вида действительно встретится в последовательности Максима не менее двух раз.

Начиная с третьего члена, каждый член последовательности совпадает либо с 0, либо с 1, ..., либо с 9.

Так как последовательность бесконечная, то найдётся член этой последовательности, который повторяется бесконечное число раз.

Пусть повторяется бесконечное число раз. Тогда следующие после члены не могут быть всё время разными (их разных – конечное количество, а встречается бесконечно много раз).

В итоге следующие после члены также хотя бы раз совпадут, и фрагмент вида действительно встретится в последовательности хотя бы дважды.

Если другое число повторяется бесконечное число раз, то рассуждения в этом случае аналогичны предыдущим.

Таким образом, последовательность Максима периодична.