19.17 Произвольные последовательности чисел

Заметим, что каждый член последовательности, начиная с пятого, однозначно определяется предыдущими четырьмя членами, следовательно, если в данной последовательности дважды встречается фрагмент , то есть она имеет вид , то она периодическая.

Остаётся показать, что некоторый фрагмент такого вида действительно встретится в последовательности Насти не менее двух раз.

Так как область значений – конечное множество, то в этом множестве найдётся элемент, который встречается в последовательности бесконечное число раз. Обозначим этот элемент через .

Так как встречается бесконечное число раз, а претендентов на роль правого соседа лишь конечное число, то найдётся число , такое, что фрагмент встречается в последовательности бесконечное число раз.

Так как фрагмент встречается бесконечное число раз, а претендентов на роль правого соседа фрагмента лишь конечное число, то найдётся число , такое, что фрагмент встречается в последовательности бесконечное число раз.

Аналогично, найдётся число такое, что фрагмент встречается в последовательности бесконечное число раз, следовательно, Настина последовательность периодична.