19.17 Произвольные последовательности чисел

а) Будем искать такую последовательность в виде

(каждый последующий член равен разности двух предыдущих). Чтобы такая последовательность подходила под условие, необходимо и достаточно, чтобы

Данная система эквивалентна системе

Таким образом, можно взять, например, , . При этом получим последовательность

б) Если какой-то из членов последовательности равен , то, начиная с него, все члены последовательности равны (так как результат деления на не может совпасть ни с каким действительным числом).

Пусть никакой из членов последовательности не равен .

 

1) Пусть . Так как остаток от деления не может быть больше делителя, то , то есть последовательность убывает.

При этом остатки от деления натуральных чисел будут натуральными числами ( мы запретили), то есть каждый следующий член последовательности будет натуральным числом, меньшим предыдущего по крайней мере на .

Тогда член последовательности с номером должен быть натуральным числом, меньшим, чем по крайней мере на , что невозможно.

 

2) Пусть , тогда и этот пункт сводится к пункту 1) при помощи смены обозначений , , ..., и дословного повторения рассуждения для последовательности .

Таким образом, последовательностей, подходящих под условие, у которых никакой из членов не равен , не бывает. Тогда, начиная с некоторого номера, все члены последовательности Тимура равны и, значит, .