Тема 19. Задачи на теорию чисел

19.14 Квадратный трехчлен

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на теорию чисел

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#733

При каких значениях параметра $a$ сумма корней уравнения

4 2 2 ax − 4a x+ x + a + 5x = 0

будет наибольшей?

Показать ответ и решение

a4x − 4a2x + x2 + a+ 5x = 0 ⇔ x2 + (a4 − 4a2 + 5)x + a = 0 ⇔ 2 2 2 ⇔ x + ((a − 2) + 1)x + a = 0

По теореме Виета сумма корней этого уравнения (если у него они есть) равна

2 2 − ((a − 2) + 1).

Данное выражение будет наибольшим при $a2 = 2,$ то есть при $a = ± √2.$

Остаётся только проверить, что при $a = ± √2$ у уравнения будут корни. При $a = √2 :$

x2 + x + √2 = 0

Так как дискриминант $√ - D = 1− 4 2 < 0,$ то у данного уравнения нет корней, следовательно, $√- a = 2$ нам не подходит. При $√- a = − 2 :$

√- x2 + x − 2 = 0

Так как дискриминант $√ - D = 1+ 4 2 > 0,$ то у данного уравнения есть два корня.

В итоге ответ: при $√ - a = − 2.$

Ответ:

$− √2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2025

При каких значениях $a ⁄= − 1$ сумма корней данного уравнения будет наименьшей?

2 2 2 3 (a+ 1)x − (a(2a − 3) + 1+ a+ (3− 2a) )x − (a+ 2) = 0

Показать ответ и решение

По теореме Виета сумма корней этого уравнения при $a ⁄= − 1$ (если у него они есть) равна

a(2a− 3)2 + 1+ a + (2a − 3)2 (a+ 1)((2a − 3)2 + 1) -----------a+-1-----------= -------a-+1--------= (2a− 3)2 + 1

Данное выражение будет наименьшим при $a = 1,5.$

Остаётся только убедиться, что при $a = 1,5$ у уравнения будут корни. При $a = 1,5 :$

2,5x2 − 2,5x− (3,5)3 = 0

Так как дискриминант $D = (2,5)2 + 4⋅2,5⋅(3,5)3 > 0,$ то у данного уравнения есть два корня.

В итоге ответ: при $a = 1,5.$

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2737

Не решая уравнения $3x2− 21x +30= 0$ найдите значение выражения $x1+ x2+x1x2,$ если известно, что $x1,$ $x2$ – корни этого уравнения.

Показать ответ и решение

По теореме Виета $21 x1 + x2 = 3 = 7,$ $30 x1 ⋅x2 = 3 = 10,$ следовательно,

x1 + x2 + x1x2 = 17

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#734

При каких значениях параметра $a$ значение выражения $√ - 3 e⋅(− x1 − x2) − π,$ где $x1,$ $x2$ – корни уравнения

4 2 2 − 4a x + 12ax + x − 11x +8a = 0

будет наибольшим?

Показать ответ и решение

− 4a4x + 12a2x+ x2 − 11x + 8a = 0 ⇔ x2 − (4a4 − 12a2 + 11)x + 8a = 0 ⇔ 2 2 2 ⇔ x − ((2a − 3) + 2)x + 8a = 0

По теореме Виета (если у данного уравнения есть корни)

2 2 x1 + x2 = (2a − 3) + 2

Данное выражение положительно при любом $a,$ следовательно,

√e⋅(− x − x )3 − π = − √e-⋅(x + x )3 − π < 0 1 2 1 2

– при любом $a$ , тогда значение выражения $√e ⋅(− x1 − x2)3 − π$ максимально при тех же $a,$ при которых минимально значение выражения $x1 + x2.$

Значение выражения $x + x 1 2$ будет наименьшим при $a2 = 3, 2$ то есть при $∘ -- a = ± 3. 2$

Остаётся только проверить, что при $∘ -- a = ± 32$ у уравнения будут корни. При $∘ -- a = 32 :$

∘ -- 2 3 x + 2x+ 8 2 = 0

Так как дискриминант $D = 4− 32∘ 32-< 0,$ то у данного уравнения нет корней, следовательно, $a = ∘-32$ нам не подходит. При $∘ -- a = − 3: 2$

-- 2 ∘ 3 x + 2x− 8 2 = 0

Так как дискриминант $∘ -- D = 4+ 32 32 > 0,$ то у данного уравнения есть два корня.

В итоге ответ: при $∘ 3- a = − 2.$

Ответ:

$∘ 3- − 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2024

Не решая уравнения $2 2x − 3x + 1 = 0,$ найдите значение выражения

( 1 1) sin x- + x- , 1 2

если известно, что $x1,$ $x2$ – корни этого уравнения.

Показать ответ и решение

( 1 1) ( x2 + x1) sin x-+ x- = sin x--⋅x--- 1 2 1 2

По теореме Виета $x1 + x2 = 3, 2$ $x1 ⋅x2 = 1 2$ , следовательно,

( ) ( ) x2-+-x1 1,5 sin x1 ⋅x2 = sin 0,5 = sin 3

Ответ:

$sin3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#2128

Антон предложил гипотезу: пусть есть квадратный трёхчлен $P (x)= ax2+ bx+ c,$ тогда у него найдутся два различных корня если и только если $P2(0)>4P(−1)P(1).$ Прав ли он?

Показать ответ и решение

Чтобы показать, что Антон не прав, достаточно придумать многочлен $P(x),$ такой что $x= 1$ – его единственный корень.

Таким образом, например, многочлен $P(x)= (x − 1)2$ опровергает гипотезу Антона, ведь $P2(0)= 1> 0= 4P(1)⋅P(−1),$ но у данного многочлена нет двух различных корней.

Ответ: Нет

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2129

Вова прислал Маше фотографию многочлена вида $P(x)= ax2 +bx+ c$ и утверждает, что $P (0)= 1,$ $P(1)= 2,$ $P(2)= 4,$ при этом существуют $m,n∈ ℕ$ такие, что $P (mn)− P(nm-)$ – иррационально. Маша утверждает, что Вова ошибся. Права ли Маша?

Показать ответ и решение

(| 1 = P(0) = c { |( 2 = P(1) = a+ b +c 4 = P(2) = 4a+ 2b+ c

Тогда

0 = P(2)− 2P (1) = 2a− c = 2a − 1 ⇒ a = 0,5

Следовательно,

b = 2 − a− c = 2 − 0,5 − 1 = 0,5

Таким образом, Вовин многочлен может быть только $2 P(x) = 0,5x +0,5x + 1,$ но тогда $( ) p P q$ – рационально при любых $p,q ∈ ℕ,$ следовательно,

( ) ( ) P m- − P -n n m

– рационально при любых $m,n ∈ ℕ.$

Ответ: Да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#2529

Даны квадратные трехчлены $f1(x)=x2 +2a1x+b1,$ $f2(x)= x2+ 2a2x+ b2$ и $f3(x)=x2+ 2a3x+b3.$ Известно, что $a1a2a3 = b1b2b3 >1.$ Может ли оказаться, что ни один из этих трехчленов не имеет более одного корня?

Показать ответ и решение

Допустим, что все три трехчлена имеют не более одного корня. Это значит, что их дискриминанты неположительны:

(|D = 4a2− 4b ≤ 0 (| a2≤ b { 1 12 1 { 12 1 |(D2 = 4a2 − 4b2 ≤ 0 ⇔ |( a2 ≤ b2 D3 = 4a23 − 4b3 ≤ 0 a23 ≤ b3

Так как любое число в квадрате неотрицательно, то можно умножить обе части первого неравенства на $a22 :$ $(a1a2)2 ≤ b1 ⋅a22 ≤ b1b2.$ Аналогично умножим на $a23$ и получим: