19.25 Уравнения в целых числах

Пусть в одном подъезде квартир. Тогда , потому что , т.к. 105я кввартира во втором подъезде, а также очевидно . Разберем два случая (везде далее будем считать, что одна цифра номера стоит одну условную единицу):

1.

, то есть в первом подъезде нет квартир с трехзначными номерами. Тогда в первом подъезде количество цифр в номерах (все номера кроме первых 9 — двузначные), а во втором (номера с по 99 двузначные, остальные — трехзначные). Запишем условие

2.

, то есть в первом подъезде есть хотя бы один трехзначный номер, а втором все трехзначные. Тогда в первом подъезде количество цифр в номерах , а во втором . Запишем условие

Однако по условию квартира 105 находится во втором подъезде, значит, этот случай не удовлетворяет условию.

Единственный возможный ответ .