19.25 Уравнения в целых числах

Пусть Оля ответила правильно на вопросов, неправильно — на вопросов, не ответила — на вопросов, где и — целые неотрицательные числа.

Поскольку Оля получила в результате 35 баллов, то

Поскольку на викторине было 24 вопроса, то

Получили систему уравнений, из которой можно исключить переменную

Заметим, что имеет остаток 2 при делении на 5, значит, и число при делении на 5 должно давать остаток 2. Число 16 имеет остаток 1 при делении на 5. Таким образом, чтобы число имело остаток 2 при делении на 5, число тоже должно иметь остаток 2 при делении на 5. Тогда его можно выразить так:

Здесь число — целое неотрицательное.

Следовательно,

Поскольку то имеем:

Тогда может быть равно 0, 1 или 2.

• Если то Такое невозможно, так как
• Если то а Такое невозможно, так как

• Значит, Тогда имеем:

  

Проверим полученные значения, подставив их в уравнение общего числа очков:

Результат сходится с условием, значит, Оля верно ответила на вопросов.