Тема 19. Задачи на теорию чисел

19.12 Формулы сокращенного умножения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на теорию чисел

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#746

Разложите многочлен $x4+ 64$ в произведение многочленов меньших степеней.

Показать ответ и решение

Всякий многочлен четвёртой степени можно разложить в произведение двух многочленов второй степени. Попробуем найти требуемое разложение в виде

4 2 2 4 3 2 x + 64 = (x + ax ± 8)(x +bx ± 8) = x + 64+ (a +b)x + (±16 + ab)x ± 8(a + b)x

Значит, получаем систему уравнений:

( |{ a+ b = 0 ±16 + ab = 0 |( ±8(a +b) = 0

Следовательно, $b = − a$ и $2 ± 16− a = 0.$

Таким образом, вместо $±$ всюду надо выбрать верхний знак, далее можно положить $a = 4,$ $b = − 4.$

В итоге получаем верное разложение

2 2 2 x + 64 = (x + 4x + 8)(x − 4x + 8)

Ответ:

$(x2 + 4x + 8)(x2 − 4x + 8)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#748

Делится ли число $(2016!)3+ 1$ на $(2016!+ 1)2?$

Показать ответ и решение

3 2 a + 1 = (a+ 1)(a − a+ 1)

Значит, при $a = 2016!$ имеет место формула

(2016!)3 + 1 = (2016!+ 1)((2016!)2 − 2016!+ 1)

Для того, чтобы произведение в правой части делилось на $(2016!+ 1)2,$ необходимо и достаточно выполнения условия

((2016!)2 + 2− 2016!− 1) ... (2016!+ 1),

что равносильно $((2016!)2 + 2)...(2016!+ 1),$ но $(2016!)2 − 1 = (2016!+ 1)(2016!− 1)$ – делится на $(2016!+ 1),$ следовательно, $(2016!)2 + 2 = ((2016!)2 − 1)+ 3$ не делится на $(2016!+ 1)$ (так как $3$ не делится на $(2016!+ 1)$ ), а тогда и $(2016!)3 + 1$ не делится на $(2016!+ 1)2.$