.00 №19 из ЕГЭ 2023

а) Да, существует. Пусть мужчина купил 4 кочана: 3 кочана по 6 кг и 1 кочан весом в 2 кг. Если то надо разделить капусту по 10 кг. Но так сделать нельзя, так как ровно один кочан имеет вес, не кратный 6, то есть ровно у одного из мужчин капуста будет иметь вес, кратный 6, но 10 на 6 не делится. Противоречие.

б) Нет, не существует. Пусть мужчина купил кочанов весом 2 кг, кочанов весом 4 кг и кочанов весом 6кг. Тогда

• Если то одному дадим кочана по 6 кг, а второму — оставшиеся.

• Если то

  • Если то одному дадим 6 кочанов по 4 кг, а второму — оставшиеся.
  • Если то С другой стороны, Значит, так как — целые, то существует при котором Тогда в этом случае первому дадим все кочаны по 6 кг и кочанов по 2 кг, а второму — оставшиеся кочаны.

в) Сначала докажем, что должно делиться на 24.

Заметим, что должно делиться на 4. Действительно, если не делится на 4, то оно дает остаток 2 при делении на 4, так как по условию четно. Пусть Тогда если разбить капусту на две части равного веса, то одна будет весить кг. При этом — нечетное число, но у нас все кочаны весят четное число килограммов, значит, набрать ими кг нельзя.

Заметим, что должно делиться на 6. Действительно, если не делится на 6, то оно дает остаток 2 или 4 при делении на 6, так как по условию четно. Пусть Тогда если мужчина купит кочанов по 6 кг и один кочан весом кг (он может так сделать, потому что — это 2 или 4), то при разбиении кочана на две части в одной из них все кочаны будут иметь вес 6 килограмм, а в другой будет один кочан веса кг и оставшиеся кочаны весом 6 кг. В этом случае первая часть будет иметь вес, делящийся на 6, а вторая — нет. Значит, в этом случае мы не получим части одинакового веса. Таким образом, должно делиться на 6.

Мы показали, что делится на 4 и 6, то есть делится на 12. Тогда или делится на 24 нацело, или дает остаток 12. Если то в случае, когда мужчина купит кочана весом 4 кг, капусту нельзя разделить поровну. Действительно, у нас кочана одного веса. Чтобы разбить капусту поровну, в группах должно быть поровну кочанов, но — нечетное. Значит, не может иметь остаток 12 при делении на 24, то есть делится на 24.

Теперь покажем, что все кратные 24, подходят. Можно считать, что Пусть мужчина купил кочанов весом 2 кг, кочанов весом 4 кг и кочанов весом 6 кг. Тогда

• Если то одному дадим кочанов по 6 кг, а второму — оставшиеся.

• Если то

  • Если то одному дадим кочанов по 4 кг, а второму — оставшиеся.
  • Если то С другой стороны, Значит, так как — целые, то существует при котором Тогда в этом случае первому дадим все кочаны по 6 кг и кочанов по 2 кг, а второму — оставшиеся кочаны.