.00 №19 из ЕГЭ 2023

а) По теореме Виета мы знаем, что и Так как корни натуральные, а число 5 — простое, то один из корней равен 1, а другой корень равен 5. Тогда

б) По теореме Виета мы знаем, что и Предположим, что Тогда мы знаем, что

Следовательно,

Такого быть не может, так как любой квадрат неотрицателен, значит,

в) Сначала докажем, что может принимать значение 12. Действительно, пусть Тогда

Теперь осталось понять, что значения 10 и 11 не достигаются (про значения доказано в пункте б). По теореме Виета мы знаем, что и Тогда Значит,

Заметим, что — это парабола с отрицательным старшим коэффициентом, она принимает наибольшее в значение в вершине, то есть при

Если то при имеем

Следовательно,

Если то Так как корни уравнения — натуральные числа, то принимает наибольшее значение в одной из точек 5 или 6. Проверим обе:

1.

Тогда

2.

Тогда

Таким образом, Значит, при наименьшее значение равно 12.