18.22 Графика. Окружность

Неравенство системы задает круг без границы с центром в точке и радиусом .
Обозначим .
Заметим, что при система не имеет решений (ветви параболы направлены вниз или ). Следовательно, .
 

 

Для того, чтобы система имела хотя бы одно решение, нужно, чтобы парабола пересекала данный круг (без границы).
Найдем граничные случаи: когда парабола касается окружности .
Пусть – точка касания. Тогда в этой точке парабола и окружность имеют общую касательную .
Заметим, что рисунок симметричен относительно оси ординат, следовательно, рассмотрим только правую часть рисунка (где ).
Пусть – точка касания, – точка пересечения касательной с осью ординат, – точка пересечения касательной с осью абсцисс, – радиус окружности, – начало координат.
Тогда уравнение касательной выглядит так: . Тогда .
Тогда как радиус, проведенный в точку касания. Следовательно, :

, , . Найдем по теореме Пифагора: Теперь подставим все значения в и получим уравнение: Так как точка также принадлежит окружности, то можно составить второе уравнение: Решая систему из двух полученных уравнений и относительно и , находим, что Так как в нашем случае при существует ровно одна точка касания окружности и параболы, то одно из двух значений, найденных для , не подойдет (не будет существовать ). Проверим . Подставим его в уравнение : Если рассматривать это уравнение как квадратное относительно , то дискриминант уравнения равен Следовательно, единственный корень Таким образом, при данном существует .

 

Следовательно, не подойдет (можно убедиться в этом, сделав аналогичную проверку).
Так как рисунок, как замечалось ранее, симметричен относительно оси ординат, то касание в точке будет возможно также при . Следовательно, значения для , при которых система будет иметь решения, это

Скобки круглые, потому что круг без границы.