18.22 Графика. Окружность

Первое уравнение — это окружность с центром и радиусом 3, второе — это график функции сдвинутый на 1 вверх и на вдоль оси Иначе говоря, это график функции вершина которого может находиться в произвольной точке на прямой в зависимости от

Пусть положения графика модуля пронумерованы слева направо от 1 до 3. Тогда видно, что левее положения 1 точек пересечения с окружностью не может быть больше двух. В положении 1 их ровно три, между положениями 1 и 2 их четыре, в положении 2 — три точки, между положениями 2 и 3 — четыре точки, в положении 3 — три точки, правее положения 3 — меньше трех точек. То есть нам подходят только изображенные три положения графика модуля. Очевидно, что положению 2 соответствует а положения 1 и 3 симметричны относительно прямой Найдем положения 1 и 3.

 

Первый способ (расстояние от точки до прямой).

Левая ветвь 1 уголка описывается условиями Касание этой прямой с окружностью эквивалентно тому, что расстояние он центра до прямой равно радиусу окружности. Расстояние от точки до прямой описывается формулой

В нашем случае расстояние от точки до прямой равно 3:

Нам подходит только значение, которое меньше 4, так как положение 1 левее положения 2. Положение 3 находим из симметрии. Получаем ответ

 

Второй способ (геометрический).

Прямая, содержащая отрезок параллельна прямой а прямая отсюда

Далее, так как радиусы перпендикулярны касательным, то имеем:

По теореме косинусов для

По теореме косинусов для

 

Приравняем правые части и решим уравнение:

Нам подходит только положительное значение, тогда первому положению соответствует третьему положению соответствует