18.23 Графика. Окружность

Рассмотрим первое уравнение. Оно задает окружность в системе координат с центром в точке и радиусом 1. Другими словами, это семейство окружностей с радиусом 1 и центром в произвольной точке прямой (то есть оси абсцисс).

Второе уравнение задает «уголок» модуля с ветвями вверх и вершиной в точке Левая ветвь содержится в прямой правая — в прямой

Построим графики.

Заметим, что если окружность с центром в точке нам подходит (то есть имеет ровно одну точку пересечения с уголком), то и окружность, симметричная ей относительно прямой (эта прямая — ось симметрии уголка) с центром в точке нам тоже подойдет. Более того, очевидно, что никакие другие окружности не подойдут. Осталось понять, при каких (то есть центр не правее оси симметрии) окружность имеет ровно одну точку пересечения с левой веткой уголка. Часть решения ниже, выделенная курсивом, нужна исключительно для неформального понимания задачи, на экзамене так писать не следует.

Представим нашу ситуацию следующим образом. У нас есть окружность фиксированного радиуса, центр которой «скользит» по оси абсцисс. Давайте двигать окружность из вправо до тех пор, пока она не «упрется» в уголок (или, другими словами, пока не соприкоснется с уголком). В этот момент окружность либо будет касаться (прямая будет касательной к окружности) левой ветки уголка, либо «упираться» в точку — вершину уголка (при этом прямая не будет являться касательной к окружности!).

Во втором случае момент касания с прямой происходит раньше, чем момент касания с уголком (и только при движении дальше вправо мы упираемся в вершину уголка), так как касание происходит в точке, принадлежащей продолжению прямой (пунктирная часть).

Найдем положение касания с окружности с прямой содержащей левую ветвь уголка. Если точка касания окружности и прямой будет лежать левее вершины уголка (т.е. координата точки касания по оси не больше, чем 3) — реализовалась первая ситуация, в противном случае реализовалась вторая.

Радиус окружности равен единице, значит, в моменте касания центр окружности лежит на расстоянии 1 от прямой Построим прямую левее параллельную на расстоянии 1 от Искомое положение окружности возникает, когда центр окружности попадает в точку пересечения прямой и оси абсцисс, по которой движется центр.

Пусть — точка пересечения с осью абсцисс, — точка касания окружности и прямой и равен расстоянию между прямыми — это 1 по построению. так как коэффициент при равен Тогда в полученном равнобедренном прямоугольном треугольнике и координата по точки равна а координата по точки касания равна Легко проверить, что это меньше, чем 3 — координата по вершины уголка и оси симметрии, значит, реализована первая ситуация (касание с левой веткой). Итого нам подходит которому соответствует положение центра, а также которому соответствует симметричное относительно оси положение центра —

Таким образом,