18.22 Графика. Окружность

Перепишем систему в виде

Так как замена линейная, то в новых координатах и система также должна иметь единственное решение.

В системе координат первое и третье равенства, учитывая второе и третье неравенства, задают верхние полуокружности с центрами в точках и соответственно и одинаковыми радиусами . Следовательно, нам необходимо, чтобы эти полуокружности имели одну точку пересечения.

Заметим, что первая полуокружность фиксирована, а вторая при изменении от до движется сверху вниз по прямой . Также заметим, что центр первой окружности тоже лежит на прямой . Следовательно, положения второй полуокружности, при которых она имеет одну точку пересечения с первой, такие:

Заметим, что когда правый конец одной из полуокружностей лежит на другой полуокружности, то для другой полуокружности эта точка — наивысшая (то есть точка с максимальной ординатой) точка этой полуокружности. Речь идет о точках и .

Действительно, — ромб, так как , диагональ которого со стороной образует угол в , следовательно, это квадрат, следовательно, . Аналогично для точки .

Тогда нам подходят все положения второй полуокружности между теми, когда она проходит через точки и (включая эти положения), исключая положение, когда она совпадает с первой полуокружностью. Так как мы доказали, что — квадрат, то ордината для “положения ” равна , а для “положения ” равна (на единицы больше/меньше ординаты ). Следовательно, , откуда