18.23 Графика. Окружность

Рассмотрим второе уравнение системы:

Рассмотрим первое уравнение системы:

Если сделать замену то система равносильна

В системе координат первое уравнение задает две прямые, проходящие через точку и симметричные относительно оси ординат. Второе уравнение задает окружность с центром в точке и радиусом проходящую через точку Необходимо, чтобы две прямые и имели две точки пересечения с той частью окружности, что находится в области

Изобразим графики:

Пусть Тогда если является решением задачи, то также является решением задачи.

Заметим, что при любом прямые и пересекаются с окружностью в начале координат, то есть одно решение система имеет всегда.

Рассмотрим положение (1): прямая касается окружности в точке Тогда система имеет одно решение. Но все прямые, находящиеся между осью ординат и прямой имеют две точки пересечения с окружностью в области А прямая в свою очередь, не имеет общих точек с этой частью окружности (кроме повторяющейся точки ). Следовательно, если — параметр, соответствующий положению (1), то нам подходят все

Рассмотрим положение (2): прямая проходит через точку Так как эта точка выколота, то обе прямые в совокупности имеют две общие точки с частью окружности в области Значит, все положения прямых между положениями (1) и (2), включая (2), нам подходят. То есть если — параметр, соответствующий положению (2), то нам подходят

Рассмотрим положение (3): прямые и совпадают и дают прямую которая имеет с частью окружности две общие точки. Следовательно, это положение нам тоже подходит. Сразу можно заметить, что оно получается при

Найдем система должна иметь единственное решение

Тогда второе уравнение системы имеет единственное решение откуда получаем

Найдем

Следовательно,

Тогда окончательно получаем