18.24 Графика. Функции с модулем: корыто и другие

Сделаем замену тогда получим уравнение

График левой части уравнения представляет из себя «корыто». Значит, левая часть будет равна 2 при так как дно корыта принадлежит горизонтальной прямой

То есть исходное уравнение равносильно двойному неравенству:

Нам нужно найти такие значения при которых у данного неравенства существует хотя бы одно решение.

Далее рассмотрим два способа решения.

Способ 1.

Данное двойное неравенство равносильно системе:

Дискриминанты квадратных трехчленов в числителях оба равны Если это выражение отрицательно, то так как коэффициент перед положителен, то оба числителя положительны при любом

Тогда поделив неравенства на числители, получим систему:

Данная система не имеет решений, следовательно, при исходное уравнение не будет иметь решений.

Рассмотрим случай

Тогда первое неравенство системы принимает вид:

Так как то Тогда по методу интервалов:

Второе неравенство системы принимает вид:

Так как то Тогда по методу интервалов:

Пересекая полученные множества, получаем решение системы:

То есть при решения у исходного уравнения есть.

Рассмотрим теперь случай

Тогда первое неравенство системы принимает вид:

По методу интервалов:

Второе неравенство системы принимает вид:

По методу интервалов:

Пересекая полученные множества, получаем решение системы:

То есть при решения у исходного уравнения есть.

Объединяя разобранные случаи, получаем, что исходное уравнение имеет хотя бы один корень при

Способ 2.

Наше двойное неравенство равносильно

Заметим, что при всех по неравенству о средних получаем:

Тогда из неравенств (1) и (2) имеем:

Отсюда получаем

Тогда исходное уравнение имеет ровно один корень при