19.03 Задачи формата ЕГЭ

а) Если числа являются сторонами некоторого треугольника, то для них выполнены неравенства треугольника: .
Возьмем последовательные 5 чисел Фибоначчи: : каждое следующее число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Следовательно, для любых трех чисел из этой пятерки большее число будет сумме двух других, следовательно, не будет выполняться неравенство треугольника (если эти числа последовательные, например, , то ; если эти числа непоследовательные, например, , то ).
Ответ: да.

 

б) Упорядочим данные 4 числа по возрастанию: . Всего из данных чисел можно составить 4 различные тройки: ; ; ; .
Заметим, что если тройка чисел является “отличной”, то для нее выполнена теорема Пифагора: .
Тогда можно сразу сказать, что у нас не могут быть одновременно “отличными” тройки и , так как тогда должно быть выполнено , , а (так как по условию числа различные).
Таким образом, для того, чтобы среди этих четырех чисел оказалось три “отличных” тройки, то это должны быть: ; и одна из троек: или .
Аналогично можно заметить, что обе тройки и также не могут быть одновременно “отличными” (по тем же рассуждениям: и , откуда ). Следовательно, “отличных” троек может быть не более двух. Таким образом, ответ: нет.

 

в) Упорядочим числа по возрастанию: . Нам нужно, чтобы у нас было наибольшее возможное количество “отличных” троек. Будем обозначать “отличную” тройку следующим образом: , имея в виду, что – катеты, – гипотенуза, то есть .
Давайте подумаем, сколько у нас может быть различных “отличных” троек с одинаковой гипотенузой . Заметим, что если в двух различных “отличных” тройках и есть одинаковый катет (это катет ), то тогда по теореме Пифагора , то есть тройки не являются различными. Исходя из этого, в двух различных “отличных” тройках с одинаковой гипотенузой нет одинаковых катетов.
Таким образом, так как среди 10-ти данных чисел ровно 9 чисел, меньших , мы можем составить максимум 4 пары катетов так, чтобы получить 4 различные “отличные” тройки с гипотенузой .
Аналогично, мы можем составить максимум 4 различные “отличные” тройки с гипотенузой ; три — с гипотенузой и три — с гипотенузой ; две — с гипотенузой и две — с гипотенузой ; одну — с гипотенузой и одну — с гипотенузой (и, вообще говоря, ни одной с гипотенузой или ).
Следовательно, максимум мы можем составить 20 различных “отличных” троек, но никто не гарантирует, что мы сможем это сделать.
То есть мы доказали, что больше 20-ти составить точно не удастся, но для того, чтобы дать в задаче ответ: 20, мы должны привести конкретный пример из 10-ти различных чисел, необязательно натуральных, из которых мы сможем составить ровно 20 различных “отличных” троек.
А вот и пример:

Будем составлять тройки следующим образом:

 

Придерживаясь этого правила, мы составим ровно 20 различных “отличных” троек.