19.03 Задачи формата ЕГЭ

а) Пусть Тогда имеем:

Предположим, что выполняется то есть

Если взять, например, то получим последовательность

Следовательно, такое возможно.

б) Аналогично пункту а) имеем:

Следовательно, один из чисел или должно быть отрицательным, поскольку оба они не могут быть равны 0, так как последовательность состоит из натуральных чисел. Но это невозможно, так как последовательность состоит из натуральных чисел. Следовательно, ответ: нет.

в) Отметим основные свойства последовательности, где при натуральных Заметим, что первые два элемента этой последовательности задаются произвольно, а вот каждый следующий, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Следовательно, так как последовательность состоит из натуральных чисел, то каждый элемент, начиная с третьего, больше предыдущего, то есть при

Это же свойство можно переформулировать по-другому: каждый элемент, начиная со второго, меньше следующего: при Но тогда

То есть каждый элемент, начиная с 4-ого, менее чем в два раза больше предыдущего.

Предположим, что равенство выполняется вплоть до какого-то большого то есть Тогда

Решим неравенство:

Так как — натуральное, а то

Следовательно, наибольший элемент, для которого может быть выполнено равенство из пункта в), это

Попробуем привести пример. Для этого нам понадобится равенство использовать в виде Также используем то, что каждый элемент последовательности, начиная с третьего, должен быть больше предыдущего.

Пусть Тогда

Получили, что — противоречие.

Пусть Тогда

Получили противоречие.

Пусть Тогда

Получили противоречие.

Пусть Тогда

Получили противоречие.

Пусть Тогда

Противоречия нет, следовательно, наибольшее возможное — это Приведем пример: