19.03 Задачи формата ЕГЭ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске написаны несколько целых чисел. Несколько раз с доски стирали по два числа, сумма которых делится на 5.
а) Может ли сумма всех оставшихся на доске чисел равняться 20, если сначала по одному разу были написаны числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 и 13?
б) Может ли на доске остаться ровно два числа, разность между которыми равна 45, если сначала по одному разу были написаны все натуральные числа от 103 до 208 включительно?
в) Известно, что на доске осталось ровно два числа, а сначала по одному разу были написаны все натуральные числа от 103 до 208 включительно. Какое наибольшее значение может получиться, если поделить одно из оставшихся чисел на второе из них?
а) Да, может. Пусть стерты оказались пары
Тогда остались числа 2, 3, 5, 10 с суммой 20.
б) Заметим, что число, кратное 5, может быть стерто в паре только с другим числом, кратным 5. Таким образом, четность количества чисел, кратных 5, не меняется после стираний.
Посчитаем, сколько чисел, кратных 5, содержится среди чисел от 103 до 208. Наименьшее из них, кратное 5, равно 105, наибольшее — 205. Тогда всего чисел, кратных 5, будет ровно
Пусть остались числа 
и 
Тогда хотя бы одно из них должно делиться на 5, так как 21 нечетно и хотя бы одно
кратное 5 число не будет вычеркнуто, но тогда и второе должно делиться 5, так как 
Значит, каким-то образом
последовательность вычеркиваний изменила количество чисел, кратных 5, с 21 до 2, что противоречит факту про четность,
доказанному выше.
в) Посчитаем количество чисел с каждым из остатков по модулю 5 среди чисел от 103 до 208, то есть заменим числа на их остатки по модулю 5 и посчитаем количество каждого из остатков. Так как число 103 дает остаток 3 по модулю 5, то блок длины 5, который будет повторяться, начинается с 3:
Всего от 103 до 208 включительно 106 чисел. Количество таких полных блоков равно 21 как целая часть от деления 
Остаток равен 1, следовательно, после последнего цельного блока будет стоять остаток 3 и ему соответствует последнее число
208. Получаем, что остаток 3 встречается 22 раза, остатки 4, 0, 1 и 2 по 21 разу.
В пункте б) мы уже доказали, что среди двух оставшихся чисел будет хотя бы одно, кратное 5. Кроме того, хотя бы одно будет давать остаток 3, так как число, дающее остаток 3, должно вычеркиваться в паре с числом, дающим остаток 2, при этом остаток 3 дают 22 числа, а остаток 2 — только 21 число.
Мы доказали, что из двух оставшихся чисел одно будет делиться на 5, а второе — давать остаток 3. Разберем два случая:
- Большее из чисел дает остаток 3. Мы хотим максимизировать отношение, значит, мы должны минимизировать
меньшее число и максимизировать большее. Наибольшее число с остатком 3 — это 208, наименьшее с остатком 0
— 105, тогда в этом случае максимальное отношение равно
- Большее из чисел дает остаток 0. Мы хотим максимизировать отношение, значит, мы должны минимизировать
меньшее число и максимизировать большее. Наибольшее число с остатком 0 — это 205, наименьшее с остатком 3
— 103, тогда в этом случае максимальное отношение равно
Сравним полученные дроби:
Тогда наибольшее значение равно 
а) Да
б) Нет
в) 
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в) | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б), | 2 |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте в) | |
| Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
